• Size “Ben yalan söylüyorum” diyen bir kişi hakkında ne düşünürsünüz? Eğer söylediği doğru ise, yalan söylemiyor demektir veya eğer söylediği doğru ise fakat yalan söylediği de doğru olacağından, yalan söylemiyor demektir.

• Alice Harikalar Diyarında‘nın yazan Lewıs Caroll şu soruyu ortaya atmıştır: Şu iki saat arasında hangisini tercih edersiniz? En sıklıkla doğru zamanı göstereni mi? Cevap olumludur. Şimdi de biri durmuş,diğeri günde bir dakika geciken saatlerden hangisini tercih edersiniz? Tabii ki günde bir dakika gecikeni tercih edersiniz. Ancak bu doğru zamanı en çok göstereni değildir. Diğer saat günde iki kez doğru zamanı gösterecektir.

• Buna benzer sayısız paradoks örnekleri biliriz. Bunların çoğu matematik açılımlarda ortaya çıkar. Bazı paradokslar ortaya atılışlarından asırlar sonra çözümlenmişlerdir. Eğer bu paradokslar bazen engeller oluşturuyorlarsa, bunlar da araştırmacılara matematikte önemli buluşları sağlayacak yeni problemler oluştururlar.

• Yunanlılardan beri, sonsuzluk çözülemeyen problemler oluşturmuştur. Milattan önce 5. yüzyılda Zenon iki paradoks ile karşı karşıya gelmiştir. Birincisi “Her hareket imkânlı değildir” olarak açıklanabilir. Bu paradoksla ilgili akıl muhakemesi şöyledir: A noktasından B noktasına gitmek için önce yolun yansını katetmek gerekir; daha sonra kalan yolun yansı, yine kalan yolun yansı katedilerek bu böyle devam eder. Bu durumda her biri sonlu bir zaman gerektiren sonsuz sayıda katedilecek yol sözkonusu olacaktır ve Zenon’a göre bu sonlu zaman aralıklarının sonsuz toplamı, sonlu olmayan bir zamanı oluşturur. Bu durumda A’dan B’ye sonlu bir zamanda ulaşmak imkânsızdır.

• İkinci paradoks ise Achille ve kaplumbağa paradoksu olarak bilinir. Zenon‘a göre Achille kaplumbağaya biraz avans tanıdığında, onu hiçbir zaman yakalayamayacaktır. Achille hareket ettiğinde, kaplumbağa belirli bir mesafededir. Achille bu mesafeye ulaşana kadar kaplumbağa da yol almış olacaktır ve bu şekilde yol alma devam edecektir.Bu durum sonsuz defa, sonlu zamanlar için tekrarlanacaktır. O halde Achille‘in kaplumbağayı yakalaması için sonlu olmayan bir zaman gerekecektir.

1851 yılında Bolzano “Sonsuzun Paradokslan” adlı bir kitap yayınlamıştır. Bu kitaptan şu örneği inceleyebiliriz: S serisi şöyle olsun:
S = a — a + a — a + a — a

Terimlerin birinci tür gruplandınlmaş :
S = (a —a) + (a —a)
+ (a — a) + (a — a)+… = 0

Terimlerin ikinci tür gruplandınlması ise; S =
a — (a — a) — (a — a) — (a —a) —…. = a
Terimlerin bir başka tür gruplandınlr naşı ile de:

S = a — (a — a + a.
— a + a — a + a — a + »…)
= a —S

• Bu tür paradokslara cevapla ancak 19. yüzyılda gerçekleştirilmiştir. Seriler incelenerek, bazı durumlarda sonlu ve yeterince küçük terimlerin sonlu olmayan toplamının sonlu bir sonuç olduğu ortaya çıkarılmıştır.

• 300 yıl önce Galiee bazı geometrik paradoksları belirtmiştir. Mesela bir yarım daire çevresinin AB çapıyla aynı uzunlukta olduğun “gösterilmesi” mümkündür. AB doğrusunun arta noktası O olduğunda, AO ve OB çaplı iki yarım daire çevresinin ikisinin de uzunluğu birinciyle aynı olacaktır. R yarı çaplı bir çemberin yarım daire çevresi L=^xR formülüyle bulunur. Daha  sonra bu iki yarım daire çevresi dört ile ve böyle devam ettirilerek yerleştirilir. Bu paradoks 19. yüzyılın sonunda Cantor’un transfini (sonlu olmayan sayıdan büyük) sayılan ortaya çıkarma-sına kadar sürmüştür.

• Sonlu olmayan kümelerde paradoks olarak gözükebilen bir cümleden yararlanılarak: tanımlanır: Sonlu olmayan bir kümede, bu kümenin bütünü ile aynı sayıda eleman içeren btt altkümenin varlığı söz konusudur. Bu tarif ile transfini sayılar oluşturulmuştur.

• Mantıkta paradokslar çok daha önceleri ortaya çıkmıştır. Bu paradokslar  MÖ. 6. yüzyılda ünlü şair ve düşünür Epimeriide ile. ortaya atılmıştır. Epimenide’e göre “Bütün Yunanlılar yalancıdırlar”. Bu ifade şu şekilde açıklanabilir: “Yunanlılar tarafından yapılan bütün açıklamalar yanlıştır”. İlk bakışta bu cümle  tuhaf görünmeyebilir. Ancak Epimenide‘in de bir Yunar di olduğu ;göz önüne alınırsa bu açıklama yanlıştır, bu da Yunanlılar tarafından yapan her açıklamanın yanlış olmadığını gösterir. Burada zıtlık dar söz konusu dur.

• Şu cümleyi göz önüne aklım: “Bütün kuralların istisnaları vardır.” Bu durumda yine aynı meseleyle karşı karşıya kalırız. Çünkü bu cümle de bir kuralı ifade eder, o halde bu kuralın da istisnaları olabilir. Bunun sonucu olarak da istisnaları olmayan kurallar da mevcuttur.

• Günün birinde bir berber dükkanına giren adam, berbere çok rekabet olup olmadığını son Berber ise “Hiç kimse” cevabını verir. “Şehirdeki bütün, insanları ben tıraş ediyorum”der. O halde berberi kim tıraş etmektedir?

• Cümeler teorisi ile daha karmaşık paradokslar ortaya çıkmıştır, tik paradoksa göre ” Jütün, kümelerin kümesi bir küme değildir”Eğer böyle bir küme söz konusu olsaydı, hiçbir kümenin kendinden daha fazla eleman içermeyeceği söylenirdi. Oysa Cantor, diğerlerinden büyük bir transfıni sayının olmadığım göstermiştir. Bu paradoks 1897 yılında Burali-Forti tarafından açıklanmıştır. Forti, matematikçileri kategoriler teorisi oluşturmaya ve kümeler teorisinin limitleri üzerinde düşündürmeye zorlamıştır.

• Bertrand Russel kümeler teorisi üzerine bir diğer paradoks açıklamıştır. “Kendilerinin elemanları olmayan bütün kümelerin kümesi bir küme depdir.” Bütün kümelerin kümesinin olabileceğini varsayalım. O halde iki tür küme söz konusudur: Kendilerinin elemanları olan kümeler ve kendilerinin elemanları olmayan kümeler. Kendilerinin elemanları olmayan kümelerin kümesi için ne söylenebilir? Kendi kendinin elemanı mıdır? Cevap imkansızdır.

• Şimdiye kadar incelediğimiz paradokslarla paradoksun tarihçesini katetmiş sayılmayız. Uzun seneler mantık paradoksları konuk olarak nitelendirilmiş ancak Burali-Forti ve Russel bu paradokslara matematik nitelik kazandırmışlardır. Bu bilim adamları matematikte günümüze kadar süregelen derin karışıklıklara sebep olmuşlardır.