• Matematikte grup terimi; cebirsel basit bir yapıyı ifade eder. Grup kavramı; halka, cisim, vektöryel düzlem gibi diğer bazı yapıların temelini oluşturur. Matematiğin her bölümünde grup örneklerine rastlamak mümkündür. Cebirde, aritmetikte, geometride, fonksiyon incelemelerinde veya sembolik mantıkta vs.

• 1,2,3, diye numaralayacağımız üç yer düşünelim. 3 nesne veya 3 kişi; bu üç yeri; her biri bir tek yer işgal edecek şekilde 6 şekilde doldurabilirler. Aynı şekilde r, t, t’, e, f, g harfleriyle göstereceğimiz altı yer değişimi de mevcut olacaktır.

• Bir biri ardı sıra t ve e değişimleri göz önüne alındığında, sadece f hesaplanmış olur, yani t.e=f yazılabilir, aynı şekilde t.f=g; g.f=t f.t=e t.’ f=e t.t*==r vs.. Bu işlemlerin tabloları gerçekleştirilebilir.

• Tanımlanan işlem; birleşme özelliğine sahiptir, r birim elemanı vardır ve her elemanın bir simetriği mevcuttur: r’in simetriği r; t’nin simetriği t’; t’nün simetriği t’dir. e,f,g, kendilerinin simetrikleridir. Bu işlem için r, t, t’, e,f,g bir grup yapısı gösterir.

• Şimdi de örneğimizi bir başka alanda alalım: ABCD dikdörtgeni. Bu dikdörtgeni yine kendine dönüştüren 4 basit geometrik dönüşüm mevcuttur, bunlar: S ile göstereceğimiz x’x simetri ekseni, y’y simetri ekseni (T), x’x ve y’y’nin kesişimi( U) ve aynı şekilde yer değiştirme (V)

• Önce S, sonra U’yu uygularsak, sonuçta sadece T’yi uygulamış gibi oluruz ve S.U=T yazarız. Aynı şekilde S.T.=U U.V.=U vs. Bu işlemin de tablosunu gerçekleştirebiliriz. S, T, U, V şekil değişimlerinin kümesi, bu işlemi için bir grup oluşturur.

• O halde, grup; bir iç bileşim kanunu ile donatılan E cümlesidir ve aşağıdaki 3 özelliği taşır.

–Kanun birleşim özelliği göstermelidir, yani a,b,c, elementleri için.
(a.b).csa.(b.c) gerçekleşmelidir.
–Cümle bu kanun için bir birim (etkisiz) eleman ihtiva etmelidir, yani her a için;
a.n=n.a=a
– Cümlenin her elemanının bu kanuna göre bir simetriği olmalıdır, yani her a için;
a.a’=a’.a=n

Yukarıda incelediğimiz her örnekte; bu 3 şartın gerçekleştiğini görmekteyiz. Ayrıca dikdörtgen örneğinde her elemanın kendi simetriğine eşit olduğunu fark ederiz. Ayrıca işlem değişmeli ise; yani her a,b için a.b=b.a ise; grup değişmeli grup veya Abel grubu adını alır.

Sayılar kümesi sık sık tekrarlanan grup örnekleri oluşturur. Mesela;
–Z tam sayılar kümesi toplama işlemine göre tanımlandığında değişmeli bir grup oluşturur.
–Q rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur.
–Q’ O’dan farklı rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre değişmeli bir gruptur.
–R gerçel sayılar kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur.
–R’ O’dan farklı gerçel sayılar kümesi çarpmaya göre değişmeli bir gruptur.
–Aksine N tabii sayılar kümesi ne çarpma ne de toplamaya göre bir grup değildir, çünkü bu iki işleme göre de N’in elemanlarının tabii i sayılar kümesinde simetrikleri yoktur.

• Bölme veya çıkarma işlemleri bir kümede grup yapısı oluşturamazlar, çünkü bu iki işlem de değişmeli değildir.

• Geometride de çok sayıda grup yapısına rastlanır;

Dikdörtgeni kendi üzerine döndüren yer değiştirmeler kümesi,
– Eşkenar üçgene ait yer değiştirmeler kümesi
– Düzlem translasyonları kümesi
– Belirli merkezli düzlemler rotasyonu kümesi
– Translasyon, rotasyon, simetri büyüklüklerini içeren düzlem yer değiştirmeleri kümesi

Cebirde de, grup yapılarına rastlamak mümkündür;

– Polinom toplaması için; n sayısına eşit veya daha az dereceli polinomlar kümesi.
– Fonksiyonların toplamasında; sayısal fonksiyonlar kümesi.
– Bir vektörel uzaydaki vektörlerin toplamaya göre vektörler kümesi.
– Çarpma için, işaret kurallarına tekabül eden işlemde +,- kümesi

• İki grup arasındaki özel bir uygunluk, birinde oluşturulan sonuçların diğerine uygulanmasını sağlar. Burada gerçek bir yapı iletimi söz konusudur, izomorfizma adını alır. (biçimdeşlik)

• Z tam sayılar kümesinin toplama için bir grup oluşturduğunu gördük. Şimdi de bir pozitif tam sayının (mesela 10 sayısının) üstel kuvvetlerinin kümesi P’yi inceleyelim. Bu P kümesi çarpma için bir gruptur; çünkü çarpma P kümesinde bir iç bileşimdir, birleşme özelliği vardır, birim elemanı olan 1 P’nin bir elemanıdır (1=10°), her elemanının bir simetriği vardır (10 n ‘in simetriği 10 n’dir)

• Z tam sayılar kümesinden P’ye bir f cümlesi düşünelim. Z’nin herhangi bir n elemanı-na, P’nin lOn elemanı tekabül eder. O halde; f(n)=10n. Pnin birebir örten olduğunun gösterilmesi basittir.

• Z’in her n elemanının, P’de bir ve bir tek görüntüsü (10 n) vardır ve her P elemanına bir ve bir tek Z elemanı tekabül etmektedir, aynca Z’in herhangi m,n iki elemanı incelendiğinde, bunların toplamının görüntüsü P’de görüntülerin çarpımına eşittir. Bu da Z’deki toplamanın, P’deki çarpmaya tekabül ettiğini gösterir.

f(m+n)=f(m). f(n) yazılabilir.
Mesela  f(2~t-3)=f(2).f(3) 105=102.103

• Bu durumda bir grup izomorfizmasından söz edilir. İzomorfizma birebir örten bir fonksiyondur, başlangıç kümesinin iki elemanının bileşimine, sonuç (varış) kümesindeki görüntülerinin bileşimi tekabül ediyorsa, bu 2 grup izomorftur.

• Bir grup incelendiğinde, E’den E kümesine bir dönüşümle karşılaşılabilir, bu durumda aynı bir kümede hesaplanan grup söz konusudur. Bazı gruplarda, elementlerin bir alt kümesinin verilmesi yeterli olur, ilk elemanlar birleştirilerek daha sonrakiler bulunur. Başlangıçta verilen elemanlar grubun oluşturanlarıdır.

• Eğer bir tek eleman diğerlerini oluşturuyorsa monogen bir grup söz konusudur. Sınırlı sayıda elemanın monogen grubu ise çevrimsel grubu oluşturur. Önceki yer ve insanlar örneğinde; r,t,t’ dönüşümleri ele alınırsa elde edilen alt küme bahsedilen bileşim kanunu için bir grup yapısı gösterir.

• Bu grup tamamı ile t’den meydana gelmiştir. t’=t ve r=t.t.t Bu çevrimsel grubun 3 elemanı vardır. Bu örnek ile alt grup da tanımlanmış olur. Burada ele alınan kümenin işlem İçin grup özelliği gösteren bir alt kümesi vardır.

• Matematikte grup kavramının önemi ve genelliğinin üzerinde daha fazla durmak gereksizdir. Örneklerin sayılarının fazlalığı bunu açıkça kanıtlamaktadır. XIX. y.yılda matematikçiler grup ve buna bağlı olarak halka, cisim kavramlarını açıklayabilmişlerdir. Bu buluş ile matematiğin yapısı derin bir değişime uğramıştır.