• Matematikçiler her zaman sonlu olmayan durumlarla karşı karşıya kalmışlardır. Yunanlı Zenon açıkladığı iki paradoksu ile ününü bugüne kadar korumuştur.

• Birinci paradoksa göre hareket imkansızdır. Bir noktadan diğer bir noktaya ulaşmak için, önce bu iki nokta arasındaki uzaklığın yarısını, sonra kalan yolun yansını ve daha sonra yine kalan yolun yarısını vs., katetmek gerekir. Bu olay sonsuz defa tekrarlanır. Zenon’a göre şortlu zaman dilimlerinin sonlu olmayan toplamı, sonlu olmayan bir zamana tekabül etmelidir. O halde sonlu bir zamanda noktadan diğer noktaya ulaşmak imkansızdır.

• Achille ve kaplumbağa paradoksu en bilinenidir. Eğer Achille, kaplumbağaya avans tanırsa, onu hiçbir zaman yakalayamaz. Mesela eğer kaplumbağaya 100 metrelik bir avans tanırsa, Achille’ in saniyede 10 metre, kaplumbağanın ise saniyede bir metre hız yaptığı durumda (bu değerler uygun, ancak pek gerçekçi olmayan değerlerdir) Achille‘in 100 metreyi 10 saniyede aştığı süre içinde, kaplumbağa 10 metre yol katedecektir. Achille‘in 1 saniyede 10 metre yol aldığı sürede de kaplumbağa 1 metre yol alacaktır ve bu böyle devam edecektir. Sonuçta kaplumbağa her zaman avansını korumuş olur. Achille’in kaplumbağayı yakalamak için ortaya koyacağı süre sonsuzdur. Çünkü bu sonlu olmayan safyıda terimin toplamını oluşturur.

• Bu iki paradoksun çözümü, bir serinin limit kavramı kullanılarak çok uzun zaman önce gerçekleşmiştir. Yeterince küçük sonsuz sayıda terimin toplamı bazı hallerde sonludur .Birinci paradoks doğru olsaydı,1+1/2+1/4+1/8+1/16+…= 1 eşitliğinin tespit edilmesi gerekirdi-

• Sonsuz kavramını ihtiva eden başka paradoksları da sıralayabilmemiz mümkündür. Çünkü bu matematikçileri zihnen meşgul eden bir problemdir. Mesela geometride, çözümleri, ancak asgari (n az ) hesabıyla gerçekleştirebilen paradokslar mevcuttur.

• 17. yüzyılda sonlu olmayan kümelerin karşılaştırılması problemi ortaya atılmıştır. Cantor (1845-1918) sonlu olmayan büyüklüklerin karşılaştırılma metodunu keşfetmiştir. Çalışmaları kümeler teorisinin doğuşuna sebep olmuştur.

• İki sonlu kümenin eleman sayılarının karşılaştırılması kolaydır. Mesela bir sinemanın yöneticisi, bir bakışta salonda kaç kişi olduğunu bilebilir (her koltukta bir kişi oturuyor ve ayakta kalan kimsenin olmadığı durumda Veya her koltuğun dolu, ayakta seyircilerin olduğu durumda. Veya herkesin oturduğu halde bazı koltukların boş olduğu durumda). Matematikte, iki kümenin eleman sayılarının aynı olması, iki küme arasında terim terime bir tekabülün gerçekleştirilmesi ile elde edilir. Sonlu bir küme durumunda, alt kümelerin herhangi birisiyle bu “birebir örten” fonksiyonun gerçeklenmesi mümkün değildir. Bütün, her zaman alt kümeden büyüktür. Oysa sonlu olmayan bir kümede durum böyle değildir.

• Sonlu olmayan bir küme nasıl belirlenmelidir? Basit olarak, sonlu olmayan bir küme, sonlu sürede saydamayan cisim yığınından oluşur. Tabii sayılar kümesi bu türdür, çünkü belirli bir süre içinde tabii sayıların sıralandırılması mümkün değildir.

Tabii sayıların karelerinden oluşan C kümesini göz önüne alalım

1,4,9,16,25,36,49,64, Bu sonlu olmayan C kümesi ile, tabii sayılar kümesi arasında birebir örten bir bağıntı şu şekilde-gerçekleştirilir: 1,2,3,4,5,6,7…n,…
1,4,9,16,25,36,49…n2,… Aynı şekilde çift tam sayılar ile tabii sayılar arasında bir bağıntı oluşturulabilir: 1,2,3,4,5,6,7…n,… 2,4,6,8,10,12,14…2n,… Oysa, tabii sayıların kareleri veya çift sayılar tabi sayılar kümesine aittir ve toplam olarak Cantor‘un sonlu olmayan kümeler üzerindeki tarifi kabul edilebilir: Bir küme ve bu kümenin alt kümelerinden biri arasında birebir örten bir bağıntının oluşturulması.

• Tabii sayılar, çift sayılar ve C kareler kümeleri aynı şekilde sonlu olmayan sayıda elemanlar içeren kümelerdir. Bu sonsuz sayıyı A ile gösteririz. Acaba daha başka sonlu olmayan sayılarda mevcut mudur?

• A’dan daha büyük sonsuz bir sayı bulmayı düşünelim. Bunun için 0 ve 1 gerçel sayılan arasında kalan sayılan düşünelim. 0-1 arası sayılar ile tabii sayılar kümesi arasında birebir örten bir bağıntı oluşturduğumuzu kabul edelim. Bu tekabül de G sayısı bulunmasın.Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6….. şu şekilde oluşturulmuş olsun: z 1 a’dan farklı, 22 b2’den farklı, Z3 c3’den farklı olsun ve bu durum sonsuza kadar devam etsin. Bu şekilde elde edilen sayı, listenin her sayısından en az bir ondalık kadar farklıdır. O halde 0-1 arası gerçel sayıların eleman sayısı A’dan fazla olacaktır. Gerçel sayılar kümesinin eleman sayısının 0-1 arasındaki, gerçel sayılar kümesinin eleman sayısına eşit olduğu gösterilebilir. A’dan büyük olan bu sayıyı B ile gösterelim, bu B sayısı Cantor’un “ordinal transfini” (sonsuzdan daha büyük olan sayı) olarak adlandırdığı sayıdır.

O halde iki problem karşımıza çıkar:

• B’den daha büyük olan diğer sayılarda mevcut mudur? Cevap olumludur, ancak sayıların ortaya konması çok güçtür. Matematikçiler B’den büyük olan sonsuzdan daha büyük sayılar dizisinin de sonsuz olduğunu göstermeyi başarmışlardır.

• A ve B arasında kalan sonsuzdan daha büyük sayılar mevcut mudur? (A=Tabii tam sayılar kümesinin eleman sayısı. B=Gerçel sayılar kümesinin eleman sayısı). Bu soru uzun süre cevapsız kalmıştır. Cevabın evet veya hayır olması, kümeler teorisine böyle bir sayının var olduğu veya olmadığı aksiyomları eklenerek gerçekleştirilir. Her durumda uygunsuz olmayan bir teori elde edilir.