• Negatif bir sayının karekökünün alınması pek rastlanılan bir olay dep’ dir. ax2+bx+c=0 şeklindeki ikinci dereceden eşitliklerde diskriminant b²-4ac’ın negatif olduğu durumlarda, eşitli çözümü yokmuş gibi gözükebilir. Negatif bir sayının karekökü kendisiyle karşıt teşkil eder vaziyettedir. 1629’da matematikçi Girard, İmkansız olan bu çözümler ne işe yarar diye sorulabilir. Ben de cevap olarak şunu söyleyebilirim. Üç şeye yarar: Genel kuralların doğrulanmasına, başka hiçbir çözüm olmadığına ve kendi faydasına.der.

• İlk olarak 16. yüzyılda İtalyan matematikçilerin eserlerinde bu imkansız sayılar ortaya çıkmıştır. Üçüncü ve dördüncü dereceden eşitliklere çözüm arama, matematikçileri bu karmaşık (hayalî) sayıların açığa çıkmasını sağlamıştır. Yavaş yavaş bu sayılar hesaplan etkili kıldıklarından, matematikçilerin bu sayılara olan inançları arttı.

• Cardan olarak isimlendirilen Milan ve Polonya‘da matematikle, tıpla uğraşan İtalyan bilgini Gerolamo Cardano (1501-1576) bu karmaşık sayılan ilk olarak hesaplamalarında kullanan insandır. Cardan’dan sonra, onun talebelerinden olan Bombelli (1530-1572) imajiner (karmaşık) sayılar hakkında ilk açıklayıcı bilgileri verdi. Aynca +1 ve +i‘nin toplanamayacağı tezini ortaya attı. Teori ve uygulamanın birleşmesi Moivre (1667-1754) ve Gauss (1777-1855) ile  gerçekleştirildi. Gauss ilk defa net olarak karmaşık sayılar ile bir düzlemin noktalan arasındaki ilişkiyi açıkladı.

• Kompleks sayılan oluşturabilmek için şu uyandan yola çıkmak gerekir: gerçel sayılar kümesinde sadece pozitif gerçel sayıların karekökü vardır. Negatif gerçel sayıların karekökleri yoktur.Mesela -1 sayısı, hiçbir sayının karesi değildir.

• Tarif olarak, gerçel olmayan ve karesi-1’e eşit olan yeni bir sayı ortaya koyalım. Bu sayıyı i ile belirtelim. Daha sonra Bombelli gibi 1 ve i’nin toplanamayacağını varsayalım. Veya 1-H’nin indirgenemeyeceğuıi ve i²-1 olduğunu kabul edelim.

• Bu şekilde a+bi şeklinde yazılan sayılar kümesinde (a ve b gerçel sayılardır) gerçel sayılar kümesinde uygulanan toplama ve çarpma işlemlerinin gerçekleşebileceğini söyleyebiliriz.

İki karmaşık sayının toplamı (a+bi ve c+di.şeklindeki)
şu şekilde hesaplanır: (a+bi)f (c+di)=(a+c>+<b+d^

Mesela: (2+4i)+(3-2i)= 5+2i

• Karmaşık sayılar kümesindeki toplama işlemi, gerçel sayılar kümesindekine benzer özellikler gösterir. Toplamanın değişme özelliği ve birleşme özelliği vardır. 0(0+0i) şeklinde bir birim eleman vardır. Her elemanın bir tersi veya simetriği vardır. Toplamaya bağlı olarak karmaşık sayılar kümesi değişmeli bir grup özelliği gösterir.

• İki karmaşık sayının çarpımının hesaplanması i2=-Ve eşit olduğu için biraz daha zordur: (a+bi)+(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =<ac-bd)+(ad+bc)i
  Mesela; (2+4i)x(3-2i)=14+8i

• Karmaşık sayılar kümesindeki çarpma işlemi, gerçel sayılar kümesindekine benzer özellikler gösterir. Çarpmanın değiştirme ve birleşme özelliği vardır. Birim elemanı 1 (1+0i)ye-eşittir. O dışındaki tüm karmaşık sayıların ters elemanı vardır, a+bi sayısının tersi;

• Karmaşık sayılarda çarpmanın toplama üze­rinde dağılma özelliği vardır. Bu iki işleme bağlı olarak karmaşık sayılar kümesi değişmeli bir cisim özelliği gösterir.

• Gerçel sayıların karmaşık sayılar kümesi­ne dahil olduğunu söylemek mümkündür .Bunun için a+0i’nin a gerçel sayısına eşdeğer olduğunu göstermek yeterlidir.

• Her karmaşık sayıya, düzlemin bir noktası tekabül eder. Her iki eksende de eşit uzaklıklar birim olarak kabul edilirse, dik koordinat sisteminde her (a+bi) sayısına koordi­natları (a,b) olan bir M noktası tekabül edecektir.

• Bu durumda iki karmaşık sayının çarpımı basit bir hal alacaktır. Çarpımın modülü, modüllerin çarpımına, çarpımın argümenti ise argümentlerin toplamına eşit olacaktır.

• Karmaşık sayıların matematik, bilim ve teknikte önemli kullanım alanları vardır.

• Matematikte karmaşık sayılar, ger­çel   katsayılı   eşitliklerin      çözümünde   önem-li bir sonucun ortaya çıkmasını sağlar­lar, n dereceli tüm gerçel katsayılı eşitliklerin n tane gerçel veya karmaşık kökü vardır. Karmaşık kökler her zaman çift sayıda bulunurlar. Bu da bize tek sayılı dereceli bir eşitliğin en az 1 tane gerçel kökünün bulunduğunu vurgular. İkinci dereceden eşitliklerde ya iki ayn gerçel kök, ya da gerçel bir kök, ya da karmaşık iki kök bulunur.

• Karmaşık sayıların fonksiyon incelenme­sinde, karmaşık eksponansiyellerde ve logaritma bölümlerinde geniş uzantıları vardır.

• Diğer bilim dallarında da fonksiyonlar kullanıldığında karmaşık sayılar ortaya çıkar. Mesela, fizikte alternatif akımların incelenmesin­de karmaşık sayıların rolü büyüktür.