• Cebir; geometri ile birlikte matematiğin en eski bölümlerinden birini teşkil eder. Cebir, sayı incelenmesi ve özelikle hesaplama kurallarını kapsar. Günümüzde cebirin kapsamı genişletilip, tüm işlemlere benzerleri (aksiyomları) içine almıştır. Bu sayede sayı olmayan veya sayılarla çok az benzerliği olan ifadeler de cebir kapsamına alınmıştır.

• Milattan önce 2000 yıllarından beri, Mısır ve Babillilerin tüm doğal sayıları ve pozitif rasyonel sayıları kapsayan hesap kuralları bulunmaktaydı.

• Yunanlılardan Thales ve Pyhagore (Milattan önce VI. y.y) Euclide Milattan önce III. yüzyıl simgeciliğe başvurmamışlardır. Milattan önce III. y.y.’da Diophante tarafından ilk önemli adım atılarak, matematikte bilinmeyenin bir simge ile (sembol) gösterilmesine başlanmıştır. Diophante tarafından kullanılmış olan simgeleri şu şekilde sıralayabiliriz. Bilinmeyen S, bilinmeyenin karesi bV , bilinmeyenin kübü K. y, toplama işlemi basit bir yanyana koymayla, çıkarma işlemi V ile 2 x 3-8 x 2+5 x-l ifadesinin yazılışı;

 şeklinde okunuşu ;

ise, iki küp, bilinmeyen 5 eksi 8 kare ve 1 birim. Diophante; bu tür yazım sistemiyle eşitlikteki ancak bir bilinmeyenin çözümlenebilmesini sağlamıştır.

• Arapların; Orta Çağda Batılılar üzerinde büyük etkileri olmuştur. Cebir (Algebre) kelimesini Araplara borçluyuz. Arapça aldjabra kelimesinden gelen Algebre’in anlamı; eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçmede eksi işaretli terimin, artı durumuna geçmesidir. Ortaçağda Arap ve Batılılar hesaplamayı zorlaştıracak ölçüde tüm hesaplama ve eşitliklerde harflerden yararlanıyorlardı. Ancak XV. yüzyılda ilk olarak Almanya ve Fransa’da cebirsel simgeciliğe başvurulmuştur.

• Yeni bir atılım Fransız matematikçisi François Viete (1540-1603) tarafından gerçekleştirilmiştir. Viete; tüm bilinen ve bilinmeyen büyüklükleri harflerle gösterme yolunu seçmiştir. Toplama işlemini +, çıkarma işlemini , çarpım işlemini “in”, bölme işlemini ise basit bir bölüm çizgisiyle göstermiştir. Bu çok önemli bir gelişmedir, çünkü günümüzde tüm sayılar için geçerli olan genel formülleri yazabilme olanağını sağlamıştır. Viete‘den sonra bu işaretlemeleri geliştiren Matematikçiler, Descartes( 1596-1650) ile tanıdığımız biçimlere yaklaşmışlardır.

• İşaretleme sistemlerinin düzelimine ve hesaplama kurallarındaki şuura paralel olarak sayıların ifadesi asırlar boyunca geliştirilmiştir. Yunanlılar sadece pozitif rasyonel ve tamsayılar üzerinde çalışmışlardır. Negatif sayılar daha sonraları ortaya çıkmıştır. Negatif sayılar önceleri, a’nın b’den küçük olduğu durumlarda a-b farkı olarak ifade edilmiş, bir sonuç olarak kabul edilmemiştir. Bir sayı olarak kabulü daha sonraları gerçekleşmiştir. Orta Çağdan önce Hintliler negatif sayıların var olabileceğim kabul etmişlerdir.
  (mesela ; ticari bir hesapta borç olarak) Hintlilerin bu bilgileri Araplar aracılığı ile Batıya iletilmiştir.

• Sayı kavramında diğer bir gelişme XVI.y.y.’da ortaya çıkmıştır. Üçüncü ve dördüncü dereceden eşitliklerin çözümünde, ve bütün çözümlere genel bir metot getirebilmek için kompleks (karmaşık) sayılar geliştirilmiştir.

• Modern anlamda, Cebir XIX.y.y. başlarında Lagrange (1736-1813) ve Gauss (1777-1855) ortaya konmuştur. Cebirin ana konusu eşitliklerin çözümüdür. Lagrange‘ın ax²+bxy+cy² türünde ifadeler üzerinde yaptığı çalışmalar, Gauss‘u grupun özel bir halini incelemeye yöneltmiştir. Bu çalışmalar daha genel teorilerin eldesine imkan sağlamıştır, “yerine koyma metodu da” Lagrange ve gauss’un grup kavramı üzerinde yaptıkan çalışmalar sonucu ortaya çıkmıştır.

• Grup teorisinin esas kurucusu Evariste Galois (1811-1832) adlı Fransız matematikçisidir. Amacı özel eşitlikler için hesaplamalar yapmak olmayıp özel ilginç eşitliklerde öncelikle çözüm yapılmıştı  bütün eşitlikler için geçerli olan genel metotlar geliştirmekti. Çözülmesi istenen eşitliğin kökleri yardımı ile sonuç veren grup özelliklerinden yararlanarak herhangi bir cebirsel eşitliğin çözümünü sağlamıştır. Cebirsel hesaplama yerini, genel grupların incelenmesine bırakmıştır.

• Aynı zamanlarda (1830-1850) İngiliz Cebirciler grup özelliklerini açıklayarak, bunu bütün yeni matematik kavramlarına uygulayıp, kapsamını genişletmişlerdir: Boole mantığına dayalı cebire, vektörlere, karmaşık sayılara, matrislere vs.

• Bu aha kadar cebirin ana probleminin; eşitlikler çözümü olduğu varsayılmıştır. 1850 yıllarından sonra, cebir tüm cebirsel yapıların incelenmesini kapsamıştır. Grup kavramı genişletilerek, sonlu permütasyon grupları, sonraları sonlu özel grupları ve sonlu grupları kapsamıştır.

• Modern cebirde yeni kavramların geliştirilmesine devam edilmiş; operatör grupları, halka, cisim, modül, vektörel uzunluklar vs. Bu yeni kavramlar, matematik ve cebirin her dalında uygulanmaya başlanmıştır.

MATEMATİKSEL HALKALAR,
ARİTMETİK.
BOOLE CEBİRİ,
MATEMATİKSEL CİSİMLER,
CEBİRSEL EĞRİLER,
CEBİRSEL EŞİTLİKLER,
MATEMATİKSEL GRUPLAR,
VEKTÖRLER